• Ортогональное проецирование. Если направление проецирования Р перпендикулярно плоскости проекций p1, то проецирование называется прямоугольным (Рисунок 1.4),или ортогональным (греч. Ortos – прямой, gonia – угол), если Р не перпендикулярно π1, то проецирование называется.
• Feb 4, 2016 - Для исключения неопределенности объекты проецируют на две, три и более плоскостей проекций. Ортогональное проецирование на две плоскости предложил французский геометр Гаспар Монж (ХVIII век). Метод Монжа представлен на рисунке 6,а,б,в (а — наглядное изображение точки.
• Ортогональная проекция точки P на прямую (или плоскость) – это основание P' перпендикуляра, опущенного из точки P на эту прямую (плоскость). Отображение, сопоставляющее точке P точку P', также называется ортогональной проекцией. В этом случае говорят также об ортогональном проектировании.

1. Ортогональное Проецирование И Его Свойства Реферат
2. Ортогональное Проецирование Реферат

Виды проецирования Одно из основных геометрических понятий - отображение множеств. В начертательной геометрии каждой точке трехмерного пространства ставится в соответствие определенная точка двумерного пространства – плоскости. Геометрическими элементами отображения служат точки, линии, поверхности пространства. Геометрический объект, рассматриваемый как точечное множество отображается на плоскость по закону проецирования. Результатом такого отображения является изображение объекта.

Операция проецирования, которая заключается в следующем. В пространстве выбирают произвольную точку S (рис.) в качестве центра проецирования и плоскость П i, не проходящая через точку S, в качестве плоскости проекций ( картинной плоскости). Чтобы спроецировать точку А на плоскость П i, через центр проецирования S проводят луч SА до его пересечения с плоскостью П i в точке А i. Точку А i принято называть центральной проекцией точки А, а луч SА - проецирующим лучом.

Описанные построения выражают суть операции, называемой центральным проецированием точек пространства на плоскость. В евклидовом пространстве существуют точки, которые не имеют центральных проекций, и наоборот в плоскости П i есть точки, которые в пространстве не имеют оригиналов (точки D и F). Точка F прямой m принадлежит плоскости, Ω, проходящей через центр проецирования S и расположенной параллельно плоскости проекций, таким образом проецирующий луч SF параллелен плоскости проекций, а точка F, как и все точки лежащие в плоскости Ω не имеют центральных проекций на П i.

Параллельное проектирование, при котором проектирующие прямые перпендикулярны к плоскости проекций, называется ортогональным проектированием. Теорема 3.13. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью.

Центральное проецирование Точка D i проекции прямой m i не имеет оригинала на прямой m, так как проецирующий луч SD i параллелен прямой. Для исключения подобных случаев евклидово пространство расширяют введением несобственных(бесконечно удаленных) точек. Такое пространство называется расширенным евклидовым пространством. Проецирующие лучи, проведенные через все точки кривой n, образуют проецирующую коническую поверхность N(рис.). Проекция криволинейной фигуры, таким образом, представляет собой линию пересечения проецирующей поверхности N и плоскости проекций П i. Центральное проецирование линии Рисунок 3. Центральное проецирование поверхности К оническую поверхность К образуют лучи и при проецировании трехмерной фигуры (рис.

Линию K i принято называть в этом случая очерковойили очерком данной фигуры. Центральное проецирование есть наиболее общий случай проецирования геометрических объектов на плоскости. И неизменными его свойствами (инвариантами) являются следующие: 1) проекция точки – точка; 2) проекция прямой – прямая; 3) если точка принадлежит прямой, то проекция этой точки принадлежит проекции прямой. По принципу центрального проецирования работают фотоаппараты и кинокамеры. Упрощенная схема работы человеческого глаза близка к этому виду проецирования: роль центра проецирования выполняет оптический центр хрусталика, роль проецирующих прямых – лучи света; плоскостью проекций служит сетчатка глаза. Поэтому изображения, построенные по принципу центрального проецирования, наиболее наглядны и их широко используют в своей работе художники, архитекторы, дизайнеры и многие другие специалисты. Случай центрального проецирования – параллельное проецирование, когда центр проецирования удален в бесконечность, при этом проецирующие лучи можно рассматривать как параллельные проецирующие прямые.

Положение проецирующих прямых относительно плоскости проекций определяется направлением проецирования S (рис.4). В этом случае полученное изображение называют параллельной проекцией объекта. Параллельном проецировании сохраняются свойства центрального и добавляются следующие:. проекции параллельных прямых параллельны между собой;. отношение отрезков прямой равно отношению их проекций;. отношение отрезков двух параллельных прямых равно отношению их проекций. В свою очередь параллельные проекции подразделяются на прямоугольные, когда проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций, и косоугольные, когда направление проецирования образует с плоскостью проекций угол не равный 90 0.

Параллельное проецирование (ортогональное) проецирование является частным случаем параллельного. Проекция объекта, полученная с использование этого метода, называется ортогональной.

Ортогональному проецированию присущи все свойства параллельного и центрального проецирования и кроме того, справедлива о проецировании прямого угла: если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая не перпендикулярна ей, то прямой угол на эту плоскость проецируется в прямой угол. Проекционным изображениям в начертательной геометрии предъявляются следующие основные требования: 1. Обратимость – восстановление оригинала по его проекционным изображениям (чертежу) – возможность определять форму и размеры объекта, его положение и связь с окружающей средой. Наглядность – чертеж должен создавать пространственное представление о форме предмета. Точность – графические операции, выполненные на чертеже, должны давать достаточно точные результаты. Простота – изображение должно быть простым по построению и допускать однозначное описание объекта в виде последовательности графических операций.

Реферат: Решение задач с помощью ортогонального проектирования » Разделы Информация Реферат: Решение задач с помощью ортогонального проектирования Тема: «Решение задач с помощью ортогонального проектирования». Ученицы 11 «Б» класса Средней школы №46 Заиц Ю.

Руководитель: Шелгинских В. Калуга, 2001 г. Выбранная для реферата тема «Решение задач с помощью ортогонального проектирования» актуальна для многих выпускников и поступающих в высшие учебные заведения.

Несмотря на то, что в методических рекомендациях по решению экзаменационных задач по геометрии говорится, что для них не требуется сложных рассуждений, преобразований и остроумия, но часто приобретенных навыков в школе не хватает для решения задач на построение и вычислительных задач. Многие из них на сегодняшний день полностью отсутствуют или редко встречаются в учебниках. Это относится в первую очередь к заданиям на применение ортогонального проецирования. Рассмотренный в данном реферате материал позволяет получить более глубокие знания по стереометрии, широкое понимание поставленного вопроса. Особое внимание уделено полноте рассуждения, в котором применялись базовые знания начертательной геометрии. При решении задач активно использовался аппарат ортогонального проектирования. Это осуществляется применением вычислительного способа и способа выносных чертежей.

В реферате также присутствует и координатный способ решения. Акцентируется внимание на решении задач по построению прямой, изображений фигур, вычислению расстояний и углов. Дана плоскость α и прямая l, задающая направление проецирования. Зададим фигуру, которую надо спроектировать (отрезок AB). Через точки А и В проведем прямые, параллельные l и пересекающие плоскость α в точках A’, B’. Отрезок A’ B’ – проекция АВ на плоскость α (рис.1).

Обозначается A’ B’ =пр α AB. Свойства параллельной проекции.

1) Проекцией точки является точка. 2) Проекцией прямой является прямая – свойство прямолинейности. 3) Проекцией точки, лежащей на некоторой прямой, является точка, лежащая на проекции данной прямой – свойство принадлежности. 4) Проекциями параллельных прямых являются параллельные прямые – свойство сохранения параллельности.

5) Отношение проекций отрезков, лежащих на параллельных прямых или на одной и той же прямой, равно отношению самих отрезков. 6) Проекция фигуры не меняется при параллельном переносе плоскости проекций. Ортогональное проецирование является частным случаем параллельного проецирования, когда направление проецирования S перпендикулярно плоскости проекции П’. В этом случае нетрудно установить соотношение между длиной натурального отрезка и длиной его проекции. Если отрезок AB образует с плоскостью проекций угол α, то, проведя AB.║A’ B’ (рис.2), получим из прямоугольного треугольника AB.B, что AB.=AB cos α или A’ B’= AB cos α. Так как ортогональное проецирование – разновидность параллельного, то ему присущи те же свойства.

Наибольшее применение получил чертеж, составленный из двух или более связанных между собой ортогональных проекций изображаемого оригинала. Такой чертеж называется комплексным. Принцип образования такого чертежа состоит в том, что данный оригинал проецируется ортогонально на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций, которые затем соответствующим образом совмещают с плоскостью чертежа. Одна из плоскостей проекции П1 располагается горизонтально и называется горизонтальной плоскостью проекций. Плоскость П2, которая располагается вертикально, называется фронтальной плоскостью проекций (рис. Прямую пересечения плоскостей проекций называют осью проекций. Спроектируем ортогонально на плоскости проекций П1 и П2 какую-нибудь точку А, тогда получим две ее проекции: горизонтальную проекцию А1 на плоскости П1 и фронтальную проекцию А2 на плоскости П2.

Проектирующие прямые АА1 и АА2, при проекции которых точка А проектируется на плоскости проекций, определяют проецирующую плоскость А1АА2, перпендикулярную к обеим плоскостям проекций и к оси проекций х. Прямые Ах А1 и Ах А 2, являющиеся проекциями проецирующей плоскости на плоскостях проекций П 1 и П2, будут перпендикулярны к оси проекций х. Расстояние А1А точки А от горизонтальной плоскости проекций называется высотой h точки А, ее расстояние А2А от фронтальной плоскости проекций – глубиной f точки А. Чтобы получить плоский чертеж, совместим плоскость проекций П1 с плоскостью П2, вращая плоскость П1 вокруг оси х в направлении, указанном на рис. В результате получим комплексный чертеж точки А (рис. 3, б), состоящий из двух проекций А1 и А 2 точки А, лежащих на одной прямой, перпендикулярной к оси х. Прямая А1А2, соединяющая две проекции точки, называется линией связи.

Прямая линия определяется двумя точками, поэтому на комплексном чертеже всякая прямая l может быть задана проекциями А1, А2 и В 1, В2 двух ее точек А и В (рис. А так как ортогональная проекция обладает свойствами прямолинейности и принадлежности, то прямая l на комплексном чертеже задается и ее проекциями l 1, l2; они будут прямыми, проходящими через точки А 1, В1, А2, В2.

Для деления данного отрезка АВ в данном отношении достаточно разделить в этом отношении одну из проекций данного отрезка, а затем спроецировать делящую точку на другую проекцию отрезка. 5 отрезок АВ разделен точкой М в отношении 2:3, первоначально в этом отношении была разделена проекция А1 В1 данного отрезка.

Определение натуральной величины отрезка прямой и его углов наклона к плоскостям проекций можно выполнить с помощью способа прямоугольного треугольника. Пусть дан отрезок АВ общего положения (рис. Зафиксируем плоскость проекций П1 так, чтобы она прошла через один из концов отрезка, например через точку А, и из точки В восстановим перпендикуляр ВВ1.

Тогда получим прямоугольный треугольник АВ1 В, в котором гипотенузой является данный отрезок АВ, одним катетом является горизонтальная проекция А1В1 отрезка АВ, а вторым катетом – высота h точки В. Угол, образованный отрезком АВ и его проекцией А 1В1, является углом наклона отрезка АВ к плоскости проекций П 1. 6, б выполнено построение натуральной величины отрезка АВ, заданного своими проекциями А1В1 и А2В2, при этом возможны два варианта решения. В одном случае построен прямоугольный треугольник А1В1В1 на горизонтальной проекции данного отрезка, а в другом - прямоугольный треугольник А1В1 В2 на фронтальной проекции отрезка.

Гипотенузы этих треугольников А 1В1 и А2В2 определяют натуральную величину отрезка АВ, а углы α и β определяют углы наклона этого отрезка к плоскостям проекций П1 и П2. Иногда удобнее строить прямоугольный треугольник не на проекции отрезка, а на высоте h или на глубине f одного из концов отрезка относительно другого. 6, в показаны оба варианта этих построений. Отрезки А1 В2 и А2 В1 определяют натуральную величину отрезка АВ. Плоскость определяют три ее точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому на комплексном чертеже всякая плоскость Q может быть задана проекциями А1, В1, С1 и А2, В2, С2 трех ее точек А, В, С (рис. Для большей наглядности соединим точки А, В и С прямыми.

Получим задание плоскости треугольником АВС. При этом следует помнить, что плоскость безгранична и поэтому некоторые построения могут выходить за пределы треугольника. Покажем, как задать какую-нибудь точку плоскости. Пусть плоскость Q задана тремя точками А, В и С (рис. Соединим их прямыми, тогда плоскость Q будет задана треугольником АВС. Проще всего искомую точку М1 задать на какой-нибудь стороне, например ВС.

Проведем в плоскости Q произвольную прямую l. Выделим на плоскости Q две произвольные точки, например, А и М1, и определим этими точками прямую l (l1,l2), принадлежащую плоскости Q.

Так как проекция плоскости Q покрывает все поле проекций, то одну из проекций точки, принадлежащей плоскости, можно задать произвольно, тогда вторая проекция определится однозначно. Выберем произвольно проекцию М13. Далее проведем в плоскости Q какую-нибудь прямую m, горизонтальная проекция которой проходила бы через выбранную проекцию М13.

Прямая m определена точками C и N, принадлежащими плоскости Q. Построив вторую проекцию m2 прямой m в пересечении с линией связи, проведенной через М13,найдем искомую проекцию М13. Таким образом, построение точки в данной плоскости сводится к двум операциям: построению в плоскости вспомогательной прямой и построению точки на этой прямой. Изображаемая фигура называется оригиналом, а изображенная – проекцией данной фигуры. Параллельной проекцией окружности является кривая, называемая эллипсом.

Так как ортогональная проекция является частным случаем параллельной проекции, то, проецируя окружность О, расположенную в плоскости общего положения Q (рис. 9) ортогонально на плоскость П1, получаем эллипс О1.

В окружности проведем два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и CD, причем АВ пройдет по прямой уровня плоскости Q, а диаметр CD – по прямой наибольшего уклона этой плоскости по отношению к плоскости проекций П1. Тогда диаметр АВ спроецируется в диаметр А1В1 эллипса, равный диаметру окружности, т.е. АВ=А1В1, а диаметр CD спроецируется в диаметр C1D1 эллипса. Так как угол, образованный этими диаметрами, является линейным углом двугранного угла наклона плоскости Q к плоскости П1, то, обозначив его через φ, получим C1D1=CD cosφ. Взаимно перпендикулярные окружности диаметры обладают свойством сопряженности (каждый сопряженный диаметр делит пополам хорды, параллельные другому диаметру). Это свойство при параллельном проецировании сохраняется. Следовательно, диаметры А1В1 и C1D1 будут сопряженными диаметрами эллипса.

Но, с другой стороны, они взаимно перпендикулярны, поэтому являются осями эллипса, причем А 1В1- большая ось, а C1D1- малая ось. Треугольник изображается треугольником любой формы.

Медиана треугольника будет изображаться медианой, так как отношение отрезков сохраняется. При проекции биссектрисы и высоты пойдет искажение. Так как параллельность прямых сохраняется, то изображение параллелограмма, в частности, прямоугольника, ромба, квадрата, служит параллелограмм. Длина сторон и величины углов произвольные. Любая трапеция изображается в виде произвольной трапеции.

Сохраняется только отношение оснований. Равнобокая трапеция имеет ось симметрии. Ее изображают следующим образом (рис. Каждое из оснований делим пополам и проводим ось симметрии. При построении оригинала правильного шестиугольника используют два симметричных ромба: OBCD и OAFE (рис. Изображение же получается при построении ромбов в виде двух одинаковых произвольных параллелограммов. Для получения проекции правильного шестиугольника надо оставшиеся точки соединить (рис.

Тетраэдр (треугольная пирамида) изображается в виде произвольного четырехугольника с его диагоналями (рис.12, а). Для построения проекции параллепипеда сначала из произвольной точки проводим три луча различной длины, не совпадающие. Затем на каждой паре лучей строим параллелограмм. Полученный каркас достраиваем до параллепипеда (рис.

Чертеж, на котором построена фигура Ф0, имеющая форму оригинала заданной плоской фигуры (т. Подобная фигуре Ф), называют выносным чертежом фигуры Ф. Если точки P, Q и R принадлежат секущей плоскости и не лежат на одной прямой, а их проекции на плоскость, выбранную в качестве основной, - точки P’, Q’ и R’, то точки пересечения соответственных прямых, т.е. Точки S1 =PQ∩P’Q’, S2=PR∩P’R’, S3=RQ∩R’Q’, лежат на одной прямой. Эта прямая является основным следом секущей плоскости. Построение выносных чертежей может быть выполнено вычислительным, а также геометрическим способом. На ребрах ВВ1 и CD куба ABCDA1B1C 1D1 взяты соответственно точки P и Q – середины этих ребер.

Построить фигуру, подобную многоугольнику, полученному в сечении кубу плоскостью С1PQ. Решение (рис.

Находим точку S1, в которой пересекаются прямые C1P и BC. Таким образом, прямая S1Q является основным следом плоскости C1PQ, а в сечении получается четырехугольник C1PS1Q. I способ построения – вычислительный. Полагая ребро куба равным a, подсчитаем стороны треугольника C1S1Q. Как нетрудно показать, точка Р – середина отрезка C1S1 и PS2 ║ C1Q.

Поэтому ясно, что, построив треугольник, подобный оригиналу треугольника C1S1Q, можно будет затем построить и искомую фигуру. Из прямоугольного треугольника C1S1С, в котором C1 S=2ВС=2 a, находим, что C1S1= a√5. Затем из прямоугольного треугольника C1СQ получаем C1Q=½ a√5 и из прямоугольного треугольника CS1Q: S1 Q=½ a√17. Выбирая теперь некоторый отрезок в качестве отрезка, равного а, построим отрезки x, y, z, заданные следующими формулами: x= a√5, y=½ a√5, z=½ a√17, например, так, как это сделано ни рисунке 13, б. Далее на рисунке13, в строим треугольник (С1)0Q0 (S1)0 со сторонами (С1)0(S1 )0 = kx, (S1)0Q0= kz, полученными на рисунке13, б.

Строим затем точку P0 – середину стороны (C1)0 (S1)0 этого треугольника и проводим через нее прямую P 0(S1)0║(C1)0Q0. Четырехугольник (С1)0Q0(S2)0 P0 – фигура, подобная заданному сечению куба плоскостью C1 РQ (т.

Это выносной чертеж многоугольника, являющегося сечением куба плоскостью C1РQ). II способ – геометрический. Так как все квадраты подобны между собой, то квадрат (С1)0С0D0(D1) 0 (рис.

14, а) подобен оригиналу грани C1CDD1 куба. Построив на этом изображении точку Q0 – середину стороны C0 D0 и соединив точки (С1)0 и Q0, получим отрезок (С1)0Q0, который можно принять за сторону треугольника (С1)0Q0(S 1)0, подобного оригиналу треугольника C1QS1.

С помощью квадрата (С1)0C0B0(B 1)0 (рис. 14, б), равного квадрату (С1)0C 0D0(D1)0, построенному на рисунке 14, а, строим отрезок (С1)0(S1)0, который будет принят за сторону треугольника (С1)0Q0 (S1)0, подобно оригиналу треугольника C1QS 1. С помощью квадрата A0B0C0D0 (рис. 14, в), равного квадрату, построенному на рисунке 14, а, строим отрезок (S 1)0Q0, который примем за третью сторону треугольника (С1)0Q0(S1)0. Получив, таким образом, все стороны треугольника (С1)0 Q0(S1)0, строим этот треугольник. Далее, как и при вычислительном способе решения, строим точку Р0 – середину стороны (S1)0(C1)0 и т.

Рисунки а, б, в можно объединить в один рисунок, например, в рисунок г. Так как треугольник (С1)0Q0(S1)0 строится с точностью до подобия, то его сторонами являются отрезки, равные k (С1)0(S1)0, k(С1 )0Q0 и k(S1)0Q0, где k0, например, k=1.

До выполнения построений решим опорные задачи. Найти отношение АН:АС (или СН:СА), где точка Н- основание высоты ВН треугольника АВС. При способе выносных чертежей необходимо построить треугольник A0 B0C0 – выносной чертеж треугольника АВС. В треугольнике A 0B0C0 построим высоту B0Н0, имеем и отрезок A0Н0, значит, отношение A0Н 0:А0C0 станет известным.

Так как АН║АС и при параллельном проектировании отношение длин параллельных отрезков сохраняется, то искомое отношение АН:АС равно отношению A0Н0:А0 C0. Чтобы найти отношение АН:АС вычислительным способом, следует подсчитать сначала стороны треугольника АВС, затем, выразив ВН2 из прямоугольных треугольников АВН и СВН, получить равенство АВ2-АН2=ВС 2-СН2. Полагая в этом равенстве для краткости АВ= с, ВС= а и АС= b?, будем иметь: с2-АН2= а 2-СН2 (1).

Это равенство является основой для вычисления одного из отрезков АН или СН. Независимо от вида треугольника АВС (рис. 15 а, б, в), сделав в равенстве (1) замену меньшего из двух отрезков СН или АН, т. Полагая СН2=( b -АН)2 в случае, когда СН≤АН, или АН2=( b-СН) 2 в случае, когда АН0.

Например, на рисунках 16, а, б взято k=2. Точку С1 соединим с точкой С и через точку Х1 проведем прямую, параллельную прямой СС1. Точка пересечения построенной прямой со вспомогательным лучом l и будет искомой точкой Х. На рисунке 16, а построение выполнено при условии pq. Выберем некоторый отрезок е в качестве единичного отрезка. На вспомогательном луче l, проведенном через точку А, построим отрезки АХ1= pe и АС1= qe. Дальнейшие построения сделаны, как в пункте а).

Они понятны из рисунка 16,. Основными способами решения задач построения на изображениях плоских фигур являются: 1. Способ выносных чертежей. Вычислительный способ. Геометрический способ. Параллелограмм АВСD является изображением квадрата A0B 0C0D0, на стороне A0B0 которого взята точка Е0 – середина этой стороны, на стороне A0 D0 взята точка F0, такая, что A0F0:A 0D0=1:4, и на прямой A0D0 взята точка К 0, такая, что точка D0 – это середина отрезка A0К 0. Через точку К0 проведена прямая x0, перпендикулярная прямой Е0F0.

Построить изображение прямой x0. Способ выносных чертежей (рис.

Так как при параллельном проектировании отношение длин параллельных отрезков сохраняется, то точка Е – изображение точки Е0 – является серединой стороны АВ, а точка F лежит на стороне AD, причем AF:AD=1:4. Построим эти точки E и F, а также точку К, лежащую на прямой AD, такую, что точка D является серединой отрезка АК, и проведем прямую EF.

Для построения искомой прямой х обратимся к выносному чертежу, на котором построим квадрат A0B0C 0D0 и заданные точки Е0, F0 и К0 (рис. Через точку К0 проведем прямую x0, перпендикулярную прямой Е0F0. Пусть прямая x0 пересекает прямую Е0F0 в точке Н0. На этом построение на выносном чертеже закончено. Возвратимся к рисунку 17,.

С помощью вспомогательного луча l с началом в точке Е построим на прямой EF точку Н, такую, что EF:EH= Е0F0:Е0H0 (опорная задача 3), где отрезки Е0F 0 и Е0H0 взяты с рисунка 17, б. Прямая КН является изображением прямой x0. Вычислительный способ. Подсчитаем сторона треугольника EFK (рис.

Полагая, что сторона квадрата равна а, находим из треугольника AEF, где АЕ=½ а, AF=¼ a, EF2=AE2+AF2, EF=¼ а√5. И из прямоугольного треугольника АЕК, где АЕ=½ а, АК=2а, находим: Если KH┴EF, то выполняется соотношение EK²-EH²=FK²- FH² (опорная задача 2), или Выбрав произвольно единичный отрезок е, разделим отрезок EF в отношении EH:EF= p:q, где p=12 e, q=5e (опорная задача 3). Получим точку Н и затем искомую прямую КН.

Геометрический способ (рис. Так как параллелограмм ABCD является изображением квадрата, то прямые АС и BD являются изображением взаимно перпендикулярных прямых. Через точку К проведем прямую KL║AC. Через точку F проведем прямую FM║BD. Таким образом, в треугольнике KFL отрезок FM является изображением высоты. Через точку L проведем прямую LN║CD. Тогда в треугольнике KFL отрезок LN является изображением второй высоты.

Найдем точку О, в которой пересекаются прямые FM и LN. Проведем прямую КО и найдем точку Н, в которой эта прямая пересекает прямую FL. Отрезок KН является изображением третьей высоты треугольника KFL, т. Прямая КН – это изображение искомой прямой х0. Также можно доказать, что если в квадрате ABCD (рис.17, д) точки R и V – середины сторон соответственно CD и FD, то AR┴BV.

Так как в рассмотренном примере EF║BV, то AR┴EF. Этим фактом можно воспользоваться для осуществления другого, также геометрического способа построения искомой прямой. Построение прямой, перпендикулярной заданной прямой. Боковое ребро правильной призмы ABCDA1B1C1 D1 в два раза больше стороны ее основания. На ребрах АВ и ВB1 призмы заданы соответственно точки Р и В2 – середины этих ребер.

Построить прямую, проходящую через точку Р перпендикулярно прямой В2 D. Способ выносных чертежей (рис.

Соединим точку Р с точками D и В2. Построим треугольник, подобный оригиналу треугольника В2DР. Фигурой, подобной оригиналу грани ABCD, является квадрат A0B0 C0D0 (рис. Отрезок D0P0, где точка P0 – середина стороны A0B0, примем за одну из сторон искомого треугольника. Фигурой, подобной оригиналу грани ABВ1А1, является прямоугольник A0B0(В1) 0(А1 )0 с отношением сторон A0B0: A0(А 1)0=1:2 (рис.

Причем его сторона A0B0 взята равной стороне квадрата, построенного на рисунке 18, б. Строим на сторонах A0B0 и B0(В1) 0 соответственно точки P0 и (В2) 0 – середины этих сторон. Отрезок P0(В2) 0 – это еще одна из сторон искомого треугольника. Строим прямоугольник B0(В1)0(D1) 0D0 (рис. 18, г), сторону B0(В1)0 которого возьмем с рисунка 18, в, а сторону B0D0 возьмем равной диагонали квадрата, построенного на рисунке 18, б.

Отрезок (В2 )0D0, где точка (В2)0 – середина стороны B0(В1)0, - это третья сторона искомого треугольника. Строим треугольник P0(В2)0D0 по трем сторонам, найденным выше. В треугольнике P0(В2)0 D0 строим P0Н0┴(В2)0 D0. Возвращаемся к рисунку 18,. С помощью луча l, проведенного через точку В2, строим точку Н, такую, что В2Н: В2D=(В 2)0H0:(В2)0D0 (опорная задача 3). Строим искомую прямую РН.

Ортогональное Проецирование И Его Свойства Реферат

Так как фигуры на рисунке 18 б, в, г, имеют общие стороны, то их можно объединить, например, так, как это показано на рисунке 18, е. Вычислительный способ. Подсчитаем стороны треугольника PB2D (рис. Для этого обозначим сторону основания призмы. Тогда ВВ1 =2а.

Далее из прямоугольного треугольника ADP: Из прямоугольного треугольника РВВ2: И из прямоугольного треугольника BB2D: Если PH┴B2D, то выполняется соотношение (из опорной задачи 2). Откуда Тогда С помощью вспомогательного луча l строим на отрезке B2D точку Н, такую, что B2Н: B2D=1:2 (опорная задача 3). Строим искомую прямую РН.

В некоторых случаях построение прямой, перпендикулярной данной, можно построить и геометрическим способом. Геометрический способ.

Ясно, что прямоугольные треугольники ADP и BB 2P равны (по двум катетам). Тогда DP=B2P, т. Треугольник B 2DP – равнобедренный. Это значит, что медиана РН этого треугольника является и его высотой, т. Прямая РН является искомой прямой. Построение прямой, перпендикулярной заданной плоскости.

Один из возможных планов решения задачи о построении прямой, проходящей через заданную точку W перпендикулярно заданной плоскости α (рис. 1) В плоскости γ, определяемой точкой W и какой-нибудь прямой U 1U2, лежащей в плоскости α, проведем через точку W прямую т1, перпендикулярную прямой U1U2. Пусть прямая т1 пересекает прямую U1U2 в точке V. 2) Проведем далее в плоскости α через точку V прямую т2, перпендикулярную прямой U1U2. 3) В плоскости β, определяемой прямыми т1 и т2, построим прямую т3, проходящую через точку W перпендикулярно прямой т2. Пусть прямая т3 пересекает прямую т2 в точке Н.

Так как прямая U1U2 пересекает прямые т1 и т 2, то прямая U1U2 перпендикулярна прямой т3. Таким образом, прямая т3 перпендикулярна прямой U1U 2 и прямой т2. Это значит, что прямая т3 перпендикулярна плоскости α, т. Является искомой прямой.

Высота МО правильной пирамиды МABCD равна стороне ее основания. Опустить перпендикуляр из вершины D на плоскость МВС. Решение (рис. Выполним построение в соответствии с изложенном выше планом.

Через точку D и прямую ВС плоскости МВС уже проходит плоскость γ – это плоскость DBC. В плоскости DBC уже проведена прямая DC┴ВС. Она пересекает прямую ВС в точке С. Чтобы в плоскости МВС (это плоскость α) провести через точку С прямую, перпендикулярную прямой ВС, заметим, что в треугольнике МВС МВ=МС.

Ортогональное Проецирование Реферат

Поэтому медиана МЕ будет и перпендикулярна к прямой ВС. Таким образом, в плоскости МВС через точку С проведем прямую CF║МЕ. В плоскости β, определяемой прямыми DC и CF, из точки D опустим перпендикуляр на прямую CF. Сделаем это построение вычислительным способом. Подсчитаем стороны треугольника CDF, полагая CD=а. Из прямоугольного треугольника МОЕ: Ясно, что DF=CF (из равенства треугольников CMF и DMF).

Если DH┴CF, то DC²-CH²=DF²-FH² (опорная задача 2). Так как DC0, то угол острый, т.е.

Cos φ=cos KWL. Если же cos KWL.